Sachez calculer la VaR, aussi appelée value at risk

Sachez calculer la VaR, aussi appelée value at risk

Récapitulons rapidement et comprenons la VaR

La valeur à risque (VaR) est l’une des mesures de risque de marché les plus importantes. À un niveau élevé, la VaR indique la probabilité des pertes qui seront supérieures à un seuil pré-spécifié dépendant du niveau de confiance sur une période de détention. La VaR est un chiffre numérique qui est calculé pour un niveau de confiance donné, qui est essentiellement le point qui sépare la queue (pertes) du reste de la distribution. La VaR nous informe sur la limite inférieure de la perte de queue.

Il y a deux termes clés utilisés ici : le niveau de confiance et une période de détention.

Le niveau de confiance reflète le degré de confiance que nous avons dans le modèle et les hypothèses que nous avons prises pour décider des paramètres. Un niveau de confiance seuil est identifié. Le niveau de confiance peut être déterminé lorsque nous backtestons le modèle afin d’estimer le nombre d’exceptions que nous rencontrons sur une période de temps.

En outre, la période de détention pourrait être soit le temps nécessaire pour liquider ou couvrir le portefeuille, soit la durée pendant laquelle le portefeuille est censé rester le même et aucune transaction ne va être ajoutée/mise à jour/supprimée du portefeuille.

Comment calcule-t-on la VaR ?

  1. Maintenant, pour que nous puissions calculer la VaR, nous devons calculer les rendements.
  2. Pour calculer les rendements, nous devons connaître le changement de valeur des transactions qui composent notre portefeuille pendant une période de temps consécutive. À partir des rendements, nous pouvons calculer la VaR.

Donc, pour élaborer, un portefeuille peut être une combinaison de plusieurs métiers et chaque métier a son propre prix qui peut changer en temps opportun (comme un exemple, sur une base quotidienne).

  • Rappelons le prix du portefeuille au temps t comme P(t)
  • Il peut y avoir des paiements intermédiaires qui pourraient être investis. Faisons référence à ces paiements au moment t comme A(t)

Selon que les paiements intermédiaires sont supposés être réinvestis, nous pouvons choisir la méthodologie arithmétique ou géométrique pour calculer les rendements.

1. Rendements arithmétiques

Avec la technique des rendements arithmétiques, nous supposons qu’il n’y a pas de retour sur les paiements, c’est-à-dire pas de réinvestissement, donc elle convient uniquement aux horizons courts.

2. Rendements géométriques

Avec les rendements géométriques, nous supposons que les paiements intermédiaires sont investis de manière continue et que les prix des actifs sont supposés être toujours positifs :

A un niveau élevé, il existe deux techniques pour calculer la mesure du risque VaR. Passons-les en revue.

1. Approche de simulation historique:

Une fois que nous avons calculé les rendements, nous devons les trier dans l’ordre décroissant et prendre la Nième observation où N est le niveau de confiance.

À titre d’exemple, s’il y a 100 observations au total et si nous sommes intéressés par le 95e centile, alors nous devons prendre la 1+95e observation. Par conséquent, nous sommes intéressés par la 96e plus grande perte et cela devient notre VaR du portefeuille.

Questions relatives à l’approche de la simulation historique

Bien que cette technique soit simple, elle a ses propres défauts. Tout d’abord, elle suppose que l’histoire va se répéter, ce qui n’est pas souvent le cas dans le monde financier. De plus, elle ne fonctionne pas avec des situations économiques changeantes ou des chocs soudains sur le marché. Enfin, il ne fonctionne pas si nous voulons incorporer et calculer la VaR pour tout niveau de confiance possible. A titre d’exemple, ce n’est pas simple si nous voulons 97,125% de VaR pour 100 observations.

2. Approche d’estimation paramétrique

La clé de l’approche paramétrique est de faire une hypothèse sur la distribution sous-jacente des rendements. La distribution sous-jacente supposée qui détermine comment nous allons calculer la VaR.

Elle est également connue sous le nom d’approche de la variance-covariance.

Si nous supposons que les rendements suivent une distribution de probabilité normale, alors nous pouvons choisir la VaR de distribution normale.

VaR de distribution normale

Le premier calcul que nous devons effectuer est la moyenne μ et l’écart type σ de l’échantillon des retours. Nous pouvons trouver la valeur z à partir du tableau Z. z est connu comme la valeur critique pour le niveau de confiance choisi. Si nous supposons des rendements arithmétiques, alors la VaR est :

VaR = (-μ + σ × z) × P(t)

Si nous supposons que les rendements suivent une distribution log-normale, alors nous pouvons choisir la VaR de distribution log-normale.

VaR log-normale

La distribution log-normale est bornée par zéro. Par conséquent, les rendements négatifs ne sont pas attendus. De plus, c’est une distribution à angle droit :

Comme nous supposons que le prix du portefeuille suit la distribution log-normale, nous impliquons que le log naturel des prix suit une distribution normale.